Забыли свой пароль?
стр. 19 из Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1 (Г. М. Фихтенгольц)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 607 Следующая
7]
§ 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
19
Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстрируемых как раз примерами 1, 2, 3:
1) либо в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе А' есть наименьшее число г;
2) либо в нижнем классе А имеется наибольшее число г, а в верхнем классе А' нет наименьшего;
3) либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе - наименьшего.
В первых двух случаях мы говорим, что сечение производится рациональным числом г (которое является пограничным между классами А и А') или что сечение определяет рациональное число г. В примерах 1, 2 таким числом г бьша 1. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационального числа. Введем теперь новые объекты - иррациональные числа, условившись говорить, что всякое сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число а. Это число а заменяет недостающее пограничное число, мы как бы вставляем его между всеми числами а класса А и всеми числами а' класса А'. В примере 3) это вновь созданное число, как легко догадаться, и будет У2.
Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обозначений *), мы неизменно будем связьгоать иррациональное число а с тем сечением А\А' в области рациональных чисел, которое его определяет.
Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по отношению к рациональному числу г. Но для каждого числа г существует два определяющих его сечения: в обоих случаях числа а<г относятся к нижнему классу, числа же а'>г - к верхнему, но само число г можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда г там будет наибольшим), либо в верхний (и г там будет наименьшим). Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении, определяющем рациональное число г, включать это число в верхний класс.
Числа рациональные и иррациональные получили общее название вещественных (или действительных) чисел. Понятие вещественного числа является одним из основных понятий математического анализа.
7. Упорядочение области вещественных чисел. Два иррациональных числа а и /?, определяемых соответственно сечениями А\А' и В | В', считаются равными в том и только в том
*) Речь идет о конечных обозначениях; со своего рода бесконечными обозначениями иррациональных чисел читатель познакомится в 9. Чаще псего индивидуально заданные иррациональные числа обозначают в зависимости от их происхождения и роли: "/2, log 5, sin 10° и т. п.
Страницы: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 607 Следующая
| Показать растр (111 Кб) |
К началу |
7]
§ 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
19
Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстрируемых как раз примерами 1, 2, 3:
1) либо в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе А' есть наименьшее число г;
2) либо в нижнем классе А имеется наибольшее число г, а в верхнем классе А' нет наименьшего;
3) либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе - наименьшего.
В первых двух случаях мы говорим, что сечение производится рациональным числом г (которое является пограничным между классами А и А') или что сечение определяет рациональное число г. В примерах 1, 2 таким числом г бьша 1. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационального числа. Введем теперь новые объекты - иррациональные числа, условившись говорить, что всякое сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число а. Это число а заменяет недостающее пограничное число, мы как бы вставляем его между всеми числами а класса А и всеми числами а' класса А'. В примере 3) это вновь созданное число, как легко догадаться, и будет У2.
Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обозначений *), мы неизменно будем связьгоать иррациональное число а с тем сечением А\А' в области рациональных чисел, которое его определяет.
Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по отношению к рациональному числу г. Но для каждого числа г существует два определяющих его сечения: в обоих случаях числа а<г относятся к нижнему классу, числа же а'>г - к верхнему, но само число г можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда г там будет наибольшим), либо в верхний (и г там будет наименьшим). Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении, определяющем рациональное число г, включать это число в верхний класс.
Числа рациональные и иррациональные получили общее название вещественных (или действительных) чисел. Понятие вещественного числа является одним из основных понятий математического анализа.
7. Упорядочение области вещественных чисел. Два иррациональных числа а и /?, определяемых соответственно сечениями А\А' и В | В', считаются равными в том и только в том
*) Речь идет о конечных обозначениях; со своего рода бесконечными обозначениями иррациональных чисел читатель познакомится в 9. Чаще псего индивидуально заданные иррациональные числа обозначают в зависимости от их происхождения и роли: "/2, log 5, sin 10° и т. п.
| Показать растр (111 Кб) |
К началу |
Страницы: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 607 Следующая