Забыли свой пароль?
стр. 31 из Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1 (Г. М. Фихтенгольц)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 11 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 607 Следующая
141
§ 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
31
Следовательно, на вещественные числа автоматически переносятся и все формально логические следствия из этих свойств. В частности, для вещественных чисел может быть буквально повторено все, сказанное в 3 непосредственно после изложения II группы свойств, т. е. могут быть доказаны существование и однозначность разности а-/? чисел а и/?, установлено понятие абсолютной величины числа а (для которой мы сохраняем обозначение | а |) и т. д.
14. Определение произведения вещественных чисел. Перейдем к умножению вещественных чисел, ограничиваясь сначала по-ложительными числами. Пусть же даны два таких числа а и /3. Мы здесь также станем рассматривать всевозможные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам (1), но и эти числа предположим положительными.
Пр оизведением «/? двух положительных вещественных чисел а и /3 назовем такое вещественное число у, которое содержится между всеми произведениями вида аЪ, с одной стороны, и всеми произведениями вида а'Ь', - с другой:
аЪ^у^а'Ъ'. (3)
Для доказательства существования такого числа у возьмём множество всевозможных произведений аЪ; оно ограничено сверху любым из произведений вида а'Ь'. Если положить
у=sup {ab},
то, конечно, ab*sy, но одновременно и y=sa'b'.
Возможность увеличить числа a, b я уменьшить числа а', V (как и в случае суммы) позволяет исключить здесь знак равенства, так что число у удовлетворяет определению произведения.
Единственность произведения вытекает из следующих соображений. Подберем, по замечанию в 9, рациональные числа а, а' и Ъ, Ъ' так, чтобы было
а'-а<е и b'-b^e,
где е - произвольно малое рациональное положительное число. При этом можно считать, что числа а и Ъ положительны, а числа а' и Ъ' не превосходят, соответственно, некоторых наперед фиксированных чисел а'0 и Ь'0. Тогда разность
а'Ь' -ab = а'ф' -Ъ) + Ъ(а'-а)^ (а'0 + Ь'0) • е,
т. е. также может быть сделана сколь угодно малой *), а этого, по
*) Заметим, что \aa+b'0)e становится меньшим любого числа е'^0, если взять е'
~ Г**' а0 + Ь0
Страницы: 11 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 607 Следующая
| Показать растр (94 Кб) |
К началу |
141
§ 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
31
Следовательно, на вещественные числа автоматически переносятся и все формально логические следствия из этих свойств. В частности, для вещественных чисел может быть буквально повторено все, сказанное в 3 непосредственно после изложения II группы свойств, т. е. могут быть доказаны существование и однозначность разности а-/? чисел а и/?, установлено понятие абсолютной величины числа а (для которой мы сохраняем обозначение | а |) и т. д.
14. Определение произведения вещественных чисел. Перейдем к умножению вещественных чисел, ограничиваясь сначала по-ложительными числами. Пусть же даны два таких числа а и /3. Мы здесь также станем рассматривать всевозможные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам (1), но и эти числа предположим положительными.
Пр оизведением «/? двух положительных вещественных чисел а и /3 назовем такое вещественное число у, которое содержится между всеми произведениями вида аЪ, с одной стороны, и всеми произведениями вида а'Ь', - с другой:
аЪ^у^а'Ъ'. (3)
Для доказательства существования такого числа у возьмём множество всевозможных произведений аЪ; оно ограничено сверху любым из произведений вида а'Ь'. Если положить
у=sup {ab},
то, конечно, ab*sy, но одновременно и y=sa'b'.
Возможность увеличить числа a, b я уменьшить числа а', V (как и в случае суммы) позволяет исключить здесь знак равенства, так что число у удовлетворяет определению произведения.
Единственность произведения вытекает из следующих соображений. Подберем, по замечанию в 9, рациональные числа а, а' и Ъ, Ъ' так, чтобы было
а'-а<е и b'-b^e,
где е - произвольно малое рациональное положительное число. При этом можно считать, что числа а и Ъ положительны, а числа а' и Ъ' не превосходят, соответственно, некоторых наперед фиксированных чисел а'0 и Ь'0. Тогда разность
а'Ь' -ab = а'ф' -Ъ) + Ъ(а'-а)^ (а'0 + Ь'0) • е,
т. е. также может быть сделана сколь угодно малой *), а этого, по
*) Заметим, что \aa+b'0)e становится меньшим любого числа е'^0, если взять е'
~ Г**' а0 + Ь0
| Показать растр (94 Кб) |
К началу |
Страницы: 11 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 607 Следующая