Забыли свой пароль?
стр. 31 из Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3 (Г. М. Фихтенгольц)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 11 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 656 Следующая
5801 8 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА ЗГ
Достаточно остановиться на интегралах \Р(1х и \ Рс1х; для
(А) (Х)
интегралов \ ^^у и \ ^(^у рассуждения вполне аналогичны. Пусть
(А) (I)
вписанная в (I) ломаная (Л) имеет вершины в точках Л = Ло,-А,,..., Л,-, Л,+1,..., Л„ = й;
обозначим через л:,-, Р,- значения х, Р в точке Л,-. Задавшись произвольным числом е^О, можно звенья А1А{^1 представить себе настолько малыми, чтобы 1) колебание непрерывной функции Р вдоль звена Л/Л,-^1 было <^е и 2) интегральная сумма ^Р^Ах; отличалась
от своего предела \ Рйлг тоже меньше, чем на е.
ш Имеем, очевидно,
^Р<1х = У^ { Рйх и, с другой стороны,
2;ргАх,=2 $ ^•'^■^•
так что
5рйх = 2^'^г+2 5 [Р-Рй^х.
Но первое слагаемое справа разнится от интеграла \ Р Лх меньше,
щ чем на е [см. 2)], а второе по абсолютной величине не превосходит
е 2 ^Иг^.! [см. 1)], т. е. и подавно <^1-г, где I — длина
кривой (I).
Итак, окончательно,
I ? Рах— { Рйх <е(1+1),
(А) (I)
что И доказывает наше утверждение.
Замечание. "Доказанное утверждение в некотором смысле может быть распространено и на случай замкнутой простой кривой (I), если разложить ее на две незамкнутые кривые и к каждой из последних в отдельности применить лемму. Предельный переход здесь ограничен требованием, чтобы в числе точек деления были две наперед фиксированные точки [ср. замечание в п° 548].
Страницы: 11 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 656 Следующая
| Показать растр (71 Кб) |
К началу |
5801 8 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА ЗГ
Достаточно остановиться на интегралах \Р(1х и \ Рс1х; для
(А) (Х)
интегралов \ ^^у и \ ^(^у рассуждения вполне аналогичны. Пусть
(А) (I)
вписанная в (I) ломаная (Л) имеет вершины в точках Л = Ло,-А,,..., Л,-, Л,+1,..., Л„ = й;
обозначим через л:,-, Р,- значения х, Р в точке Л,-. Задавшись произвольным числом е^О, можно звенья А1А{^1 представить себе настолько малыми, чтобы 1) колебание непрерывной функции Р вдоль звена Л/Л,-^1 было <^е и 2) интегральная сумма ^Р^Ах; отличалась
от своего предела \ Рйлг тоже меньше, чем на е.
ш Имеем, очевидно,
^Р<1х = У^ { Рйх и, с другой стороны,
2;ргАх,=2 $ ^•'^■^•
так что
5рйх = 2^'^г+2 5 [Р-Рй^х.
Но первое слагаемое справа разнится от интеграла \ Р Лх меньше,
щ чем на е [см. 2)], а второе по абсолютной величине не превосходит
е 2 ^Иг^.! [см. 1)], т. е. и подавно <^1-г, где I — длина
кривой (I).
Итак, окончательно,
I ? Рах— { Рйх <е(1+1),
(А) (I)
что И доказывает наше утверждение.
Замечание. "Доказанное утверждение в некотором смысле может быть распространено и на случай замкнутой простой кривой (I), если разложить ее на две незамкнутые кривые и к каждой из последних в отдельности применить лемму. Предельный переход здесь ограничен требованием, чтобы в числе точек деления были две наперед фиксированные точки [ср. замечание в п° 548].
| Показать растр (71 Кб) |
К началу |
Страницы: 11 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 656 Следующая