Забыли свой пароль?
стр. 19 из Справочное пособие по высшей математике. Том 2. Ряды, функции комплексного аргумента (Антидемидович) (И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 224 Следующая
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 19
Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, пЛ.5, заключаем, что данный ряд сходится. ►
оо п=1 V п/
М Поскольку sin - > —, п € N, то 1п^ (sin -) < In^ (^) • Следовательно, 1 1 2 _ , / 1 \
ln=(sini) ^ln=(^)^xnlnf -^ Ulnnj'"'^"^-
Таким образом, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, из последнего соотношения следует, что данный ряд расходится. ►
М При а ^ О ряд расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю при п —* ос. Поэтому будем считать, что а < О, и при установлении порядка стремления общего члена ряда при п —* 00 будем пользоваться формулой Маклорена. Имеем
п" , /а, X , \ПП {\пп\ „, /InnN
п — 1 = ехр п In п) — 1 =-------Ь о ----- =1^ ----- > и —♦ ос.
Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, видим, что ряд сходится при «<-!.►
55. У^ 7-------Г-ГГ7------гг-г-> а > о, Ь > 0.
^ (n + a)'^+^'{n + b)'^+'^
■4 Имеем
Так как последовательности ( (l + ^) ") ^^ ((■' + ^) ) "Р** " —* °о стремятся к постоянным е" и е' соответственно, то an ~ ^-т+Г "Ри га ^ оо. Следовательно, по теоремам 3 и 4, п.1.5, данный ряд сходится при а + b > 1. ►
56.x:(in^-in(sin±)).
71 = 1
< Очевидно, если а ^ О, то ряд расходится, ибо общий член ряда не стремится к нулю. Далее, при а > О, используя формулу Маклорена, получаем
On = In------In I sin — 1 = — In I n" sin — ) =
Таким образом, по теореме 4, п.1.5, ряд сходите^ при а > j. ►
оо
Исследовать сходимость рядов У и„ со следующими общими членами:
п=1 -1
57. un= I / \/i +1*dx
М Поскольку
/ \/l + X* dx > xdx = -—,
Страницы: 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 224 Следующая
| Показать растр (69 Кб) |
К началу |
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 19
Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, пЛ.5, заключаем, что данный ряд сходится. ►
оо п=1 V п/
М Поскольку sin - > —, п € N, то 1п^ (sin -) < In^ (^) • Следовательно, 1 1 2 _ , / 1 \
ln=(sini) ^ln=(^)^xnlnf -^ Ulnnj'"'^"^-
Таким образом, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, из последнего соотношения следует, что данный ряд расходится. ►
М При а ^ О ряд расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю при п —* ос. Поэтому будем считать, что а < О, и при установлении порядка стремления общего члена ряда при п —* 00 будем пользоваться формулой Маклорена. Имеем
п" , /а, X , \ПП {\пп\ „, /InnN
п — 1 = ехр п In п) — 1 =-------Ь о ----- =1^ ----- > и —♦ ос.
Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, видим, что ряд сходится при «<-!.►
55. У^ 7-------Г-ГГ7------гг-г-> а > о, Ь > 0.
^ (n + a)'^+^'{n + b)'^+'^
■4 Имеем
Так как последовательности ( (l + ^) ") ^^ ((■' + ^) ) "Р** " —* °о стремятся к постоянным е" и е' соответственно, то an ~ ^-т+Г "Ри га ^ оо. Следовательно, по теоремам 3 и 4, п.1.5, данный ряд сходится при а + b > 1. ►
56.x:(in^-in(sin±)).
71 = 1
< Очевидно, если а ^ О, то ряд расходится, ибо общий член ряда не стремится к нулю. Далее, при а > О, используя формулу Маклорена, получаем
On = In------In I sin — 1 = — In I n" sin — ) =
Таким образом, по теореме 4, п.1.5, ряд сходите^ при а > j. ►
оо
Исследовать сходимость рядов У и„ со следующими общими членами:
п=1 -1
57. un= I / \/i +1*dx
М Поскольку
/ \/l + X* dx > xdx = -—,
| Показать растр (69 Кб) |
К началу |
Страницы: 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 224 Следующая