Забыли свой пароль?
стр. 22 из Справочное пособие по высшей математике. Том 2. Ряды, функции комплексного аргумента (Антидемидович) (И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 224 Следующая
22 Гл. 1. Ряды
^) )L^n3 + l'^^2^(.4 2)(i + 4)...(. + 2n)'
n=l n=sl
^ a) Поскольку ряды У^ -^-r- и У^ -rrr сходятся, то по доказанному выше сходится
п=1 п=1
данный комплексный ряд.
б) Используя формулу X + iy = yi^ +у^(со8^з + t'sin (fi), преобразуем выражение
п
(.+2)(.+4;...(.Ч2п) « ВИДУ j;^":'j;;,;^, где <^„ = g arctg^. Поскольку
n!|cosv3n| ^ п\ n!|sinv3n| ^ п\
л/5УТ7 ... У4п2 + 1 "" V5vW~v^PTT' VSVTZ ... ч/4п2 + j -- y^vTz ... У4п2 + 1
oo
и ряд У^ _ __ "' , ПО признаку д'Аламбера сходится, то на основании доказанной выше
теоремы (пример 60) сходится и данный комплексный ряд. ►
Заменив последовательности (in), п £ N, соответствующими рядами, исследовать их сходимость:
62. х„ = 1 + ^= + ... + -7= - 2%АГ.
71—1
-^ Поскольку 1„ = ^ (ik+1 - Ik) + ii, то
п-1
1 + 4=+ ■•• +4=-2%/" = -1-У^-р___ / ----г^-
Следовательно,
Полученный ряд сходится_________
°° 1 lim In = —1 — > , —, ------я=—•
£^^Г+1(^Г+1 + л/А)2
при к —^ 00,
УГТТ(ч/МП+Уа)^~2П
поэтому сходится также данная последовательность. ►
63. х„ = }_^-^—г-
к=1
-^ Поступая аналогично проделанному в предыдущем примере, получаем
к=1 ^ '
откуда
Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеане, имеем 21п(п+1) п j^
п + 1 п + 1
_ 21п(п + 1) ln(n + l)+lnn ^^.{Ып\ _ ..JjgJL.-b f'l-t-lVjlILJlL , г,' {^п\ ~ п + 1 п "^ \пЧ~ п(п + 1) V nJ n(n + l)+'^ Vlp-j
21iin , «-i_ + /T/'^»»\ ^./'lnn\
Страницы: 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 224 Следующая
| Показать растр (67 Кб) |
К началу |
22 Гл. 1. Ряды
^) )L^n3 + l'^^2^(.4 2)(i + 4)...(. + 2n)'
n=l n=sl
^ a) Поскольку ряды У^ -^-r- и У^ -rrr сходятся, то по доказанному выше сходится
п=1 п=1
данный комплексный ряд.
б) Используя формулу X + iy = yi^ +у^(со8^з + t'sin (fi), преобразуем выражение
п
(.+2)(.+4;...(.Ч2п) « ВИДУ j;^":'j;;,;^, где <^„ = g arctg^. Поскольку
n!|cosv3n| ^ п\ n!|sinv3n| ^ п\
л/5УТ7 ... У4п2 + 1 "" V5vW~v^PTT' VSVTZ ... ч/4п2 + j -- y^vTz ... У4п2 + 1
oo
и ряд У^ _ __ "' , ПО признаку д'Аламбера сходится, то на основании доказанной выше
теоремы (пример 60) сходится и данный комплексный ряд. ►
Заменив последовательности (in), п £ N, соответствующими рядами, исследовать их сходимость:
62. х„ = 1 + ^= + ... + -7= - 2%АГ.
71—1
-^ Поскольку 1„ = ^ (ik+1 - Ik) + ii, то
п-1
1 + 4=+ ■•• +4=-2%/" = -1-У^-р___ / ----г^-
Следовательно,
Полученный ряд сходится_________
°° 1 lim In = —1 — > , —, ------я=—•
£^^Г+1(^Г+1 + л/А)2
при к —^ 00,
УГТТ(ч/МП+Уа)^~2П
поэтому сходится также данная последовательность. ►
63. х„ = }_^-^—г-
к=1
-^ Поступая аналогично проделанному в предыдущем примере, получаем
к=1 ^ '
откуда
Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеане, имеем 21п(п+1) п j^
п + 1 п + 1
_ 21п(п + 1) ln(n + l)+lnn ^^.{Ып\ _ ..JjgJL.-b f'l-t-lVjlILJlL , г,' {^п\ ~ п + 1 п "^ \пЧ~ п(п + 1) V nJ n(n + l)+'^ Vlp-j
21iin , «-i_ + /T/'^»»\ ^./'lnn\
| Показать растр (67 Кб) |
К началу |
Страницы: 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 224 Следующая