Забыли свой пароль?
стр. 9 из Справочное пособие по высшей математике. Том 2. Ряды, функции комплексного аргумента (Антидемидович) (И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 224 Следующая
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
Суммируя эти неравенства по m от 1 до р, получаем
р , р
(а - е) ^ —;— < У^ Om+n < (а + е) V"-----;—.
тп=1 m=l m=l
/ P J
Отсюда видно, что в силу расходимости гармонического ряда [ lim У^ —— = +оо
ток рассматриваемого ряда расходится. Следовательно, расходится и сам ряд. ►
Примечание. Из условия примера 12 следует, что an = ^ + " (п) ~ ^* \п) ^"^ п —> оо. Поэтому на основании теоремы 4, п.1.5, данный ряд расходится. Однако мы предпочли непосредственное доказательство.
оо
13. Доказать, что если ряд N Оп, Оп > О, с монотонно убывающими членами сходится,
71=1
то lim па„ = 0.
< По критерию Коши, из сходимости ряда следует, что Ve > О Зпо такое, что Vn > по справедливо неравенство On^i + "п+г + . ■. + а„+р < |. Так как (оп) — монотонная и положительная последовательность, то из последнего неравенства вытекает, что pan-i-p < j. Полагая, далее, последовательно р = п и р = п + 1, отсюда находим, что 2пагп < е и (2п -(- 1)а2п+1 < £ при п > По- Следовательно, пап < £ при любом (четном и нечетном) п > 2по • ►
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов:
-, л COS! —COS2i cos2i —cos3i cosni — cos(n-|-l)i
14.--------------+---------------+,..+------------^------'-^ ....
12 n
■^ Фиксируем произвольное £ > О . Найдем число по такое, что при всех п > по и произвольном р > О будет справедлива оценка |Sn+p — S„| < £, где [Sn) последовательность частичных сумм данного ряда. Имеем
i-bn+p "■ Jn\
cos(n + 1)1 — cos(n -f 2)i
+
cos(n + 2)x — cos(n + 3)i
"*" n + 2 "''
■ ■ +
cos(n
cos(n +p)x - cos(n -l-p -I- l)i _ cos(n -f p)x
cos(n + l)i cos(n-)-2)i
n + 1 (n-fl)(n-|-2) ~ (n-|-2)(n + 3
(n+p- l)(n-|-p)
cos(n -\- p + l)i
$
1
1
+ ... +
1
+
1
2
+
(n-f p — l)(n-f p) ' n+p n
n + 1 (n + l)(n+'2)
Отсюда следует, что \Sn-i.p — S„| < £, если за число no взять -. Поэтому, согласно критерию Коши, ряд сходится. ►
1 - cos I cos i^ cos i"
p
2=
■^ Найдем число no такое, что Vn > no и произвольном p > О будет выполняться неравенство |Sn-Hp — Sn\ < s. Имеем
^n+p ■
■5„| =
г n+1
рП+2
COS е"+Р
^
+
■+... +
(n + p)2
1
(n-f 1)2 (n.f2)
1
■ +
1
■ + ■
1
+... +
(n + l)2 (n+2)2
+...
(n + p)2 ^ n(n-f 1) (n-fl)(n-|-2)
1 1
1 < -.
(n + p-l)(n + p) n n+p
Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 224 Следующая
| Показать растр (82 Кб) |
К началу |
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
Суммируя эти неравенства по m от 1 до р, получаем
р , р
(а - е) ^ —;— < У^ Om+n < (а + е) V"-----;—.
тп=1 m=l m=l
/ P J
Отсюда видно, что в силу расходимости гармонического ряда [ lim У^ —— = +оо
ток рассматриваемого ряда расходится. Следовательно, расходится и сам ряд. ►
Примечание. Из условия примера 12 следует, что an = ^ + " (п) ~ ^* \п) ^"^ п —> оо. Поэтому на основании теоремы 4, п.1.5, данный ряд расходится. Однако мы предпочли непосредственное доказательство.
оо
13. Доказать, что если ряд N Оп, Оп > О, с монотонно убывающими членами сходится,
71=1
то lim па„ = 0.
< По критерию Коши, из сходимости ряда следует, что Ve > О Зпо такое, что Vn > по справедливо неравенство On^i + "п+г + . ■. + а„+р < |. Так как (оп) — монотонная и положительная последовательность, то из последнего неравенства вытекает, что pan-i-p < j. Полагая, далее, последовательно р = п и р = п + 1, отсюда находим, что 2пагп < е и (2п -(- 1)а2п+1 < £ при п > По- Следовательно, пап < £ при любом (четном и нечетном) п > 2по • ►
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов:
-, л COS! —COS2i cos2i —cos3i cosni — cos(n-|-l)i
14.--------------+---------------+,..+------------^------'-^ ....
12 n
■^ Фиксируем произвольное £ > О . Найдем число по такое, что при всех п > по и произвольном р > О будет справедлива оценка |Sn+p — S„| < £, где [Sn) последовательность частичных сумм данного ряда. Имеем
i-bn+p "■ Jn\
cos(n + 1)1 — cos(n -f 2)i
+
cos(n + 2)x — cos(n + 3)i
"*" n + 2 "''
■ ■ +
cos(n
cos(n +p)x - cos(n -l-p -I- l)i _ cos(n -f p)x
cos(n + l)i cos(n-)-2)i
n + 1 (n-fl)(n-|-2) ~ (n-|-2)(n + 3
(n+p- l)(n-|-p)
cos(n -\- p + l)i
$
1
1
+ ... +
1
+
1
2
+
(n-f p — l)(n-f p) ' n+p n
n + 1 (n + l)(n+'2)
Отсюда следует, что \Sn-i.p — S„| < £, если за число no взять -. Поэтому, согласно критерию Коши, ряд сходится. ►
1 - cos I cos i^ cos i"
p
2=
■^ Найдем число no такое, что Vn > no и произвольном p > О будет выполняться неравенство |Sn-Hp — Sn\ < s. Имеем
^n+p ■
■5„| =
г n+1
рП+2
COS е"+Р
^
+
■+... +
(n + p)2
1
(n-f 1)2 (n.f2)
1
■ +
1
■ + ■
1
+... +
(n + l)2 (n+2)2
+...
(n + p)2 ^ n(n-f 1) (n-fl)(n-|-2)
1 1
1 < -.
(n + p-l)(n + p) n n+p
| Показать растр (82 Кб) |
К началу |
Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 224 Следующая