Забыли свой пароль?
стр. 19 из Справочное пособие по высшей математике. Том 3. Кратные и криволинейные интегралы (Антидемидович) (И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 224 Следующая
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 19
Следовательно, исходный интеграл сходится при этом же условии. ► Исследовать сходимость интегралов путем сравнения их с рядами:
+ 00
23.
J 1 + I"I
" ,n>o.
о •^ Поскольку
+«
/ оо » оо 1
X dx _ ^-v I X dx _ yr-\ I {kir + t) dt
l + i^sin^i"-^ / l + i"sin^i " •^y 1 + (*я- + <)"8т^<'
0 "-" ктг
TO будем исследовать сходимость последнего ряда. Легко видеть, что
7Г ТГ 7Г
h
О
У_______kvdt Г {kv-\-t)di f {k + l)irdt
l + (Jl; + l)"7r"sm^i / 1 + (JfcTT +1)" sin^ t / 1 +Jl;"7r" sin^ i ~ ^'
0 0
^"^ '^ = ^^.(7.^.3 ^ ^^ - ^^- Так как Л = О' {ф,) ,1.=0' (^) при к то, по признаку сравнения, ряд, а значит и интеграл, сходится лишь при п > 4. ►
24. /-зЙ=.
о •^ Представив данный интеграл в виде
+ 00 „ (П+1)Я
[ /- =у [
dx
J xPVsin^x ~
3/—.—5—' , ., iPVSin I
n=l _
П7Г
будем рассматривать последний ряд. Полагая х = птг + t, имеем
(n+l)ir ^
/ __i£__- /" <ii
J xPy/sin'^x J {nir + t)P\^sin'^t
П7Г 0
Заметим попутно, что этот интеграл является несобственным и сходится по признаку срав-
нения
в силу оценок
= О* f-i-l при t -. +0, -------Ц^== = О* ( —^ ) , t - 7Г - о).
_1_____ } dt } dt 1 / dt
oo
исследуемый ряд (интеграл) сходится или расходится одновременно с рядом Y1 ^ кото-
п=\
рый сходится только при р > 1. Следовательно, исходный интеграл сходится при этом же условии. ►
+ 00
25. Доказать, что если: 1) интеграл / /(i, y)dx сходятся равномерно на ]j/i, у2[ и 2)
а
функция ip ограничена и монотонна по i, то интеграл
+ 00
/ f{x,y)f{x, y)dx (1)
Страницы: 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 224 Следующая
| Показать растр (71 Кб) |
К началу |
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 19
Следовательно, исходный интеграл сходится при этом же условии. ► Исследовать сходимость интегралов путем сравнения их с рядами:
+ 00
23.
J 1 + I"I
" ,n>o.
о •^ Поскольку
+«
/ оо » оо 1
X dx _ ^-v I X dx _ yr-\ I {kir + t) dt
l + i^sin^i"-^ / l + i"sin^i " •^y 1 + (*я- + <)"8т^<'
0 "-" ктг
TO будем исследовать сходимость последнего ряда. Легко видеть, что
7Г ТГ 7Г
h
О
У_______kvdt Г {kv-\-t)di f {k + l)irdt
l + (Jl; + l)"7r"sm^i / 1 + (JfcTT +1)" sin^ t / 1 +Jl;"7r" sin^ i ~ ^'
0 0
^"^ '^ = ^^.(7.^.3 ^ ^^ - ^^- Так как Л = О' {ф,) ,1.=0' (^) при к то, по признаку сравнения, ряд, а значит и интеграл, сходится лишь при п > 4. ►
24. /-зЙ=.
о •^ Представив данный интеграл в виде
+ 00 „ (П+1)Я
[ /- =у [
dx
J xPVsin^x ~
3/—.—5—' , ., iPVSin I
n=l _
П7Г
будем рассматривать последний ряд. Полагая х = птг + t, имеем
(n+l)ir ^
/ __i£__- /" <ii
J xPy/sin'^x J {nir + t)P\^sin'^t
П7Г 0
Заметим попутно, что этот интеграл является несобственным и сходится по признаку срав-
нения
в силу оценок
= О* f-i-l при t -. +0, -------Ц^== = О* ( —^ ) , t - 7Г - о).
_1_____ } dt } dt 1 / dt
oo
исследуемый ряд (интеграл) сходится или расходится одновременно с рядом Y1 ^ кото-
п=\
рый сходится только при р > 1. Следовательно, исходный интеграл сходится при этом же условии. ►
+ 00
25. Доказать, что если: 1) интеграл / /(i, y)dx сходятся равномерно на ]j/i, у2[ и 2)
а
функция ip ограничена и монотонна по i, то интеграл
+ 00
/ f{x,y)f{x, y)dx (1)
| Показать растр (71 Кб) |
К началу |
Страницы: 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 224 Следующая