Забыли свой пароль?
стр. 22 из Справочное пособие по высшей математике. Том 3. Кратные и криволинейные интегралы (Антидемидович) (И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 224 Следующая
22 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Во втором случае, произведя замену t = ах, х > О Л а > О, получим
1 ае-"' dx= I е-' dt = е""^
В аВ
Отсюда следует, что V5 > О За, а €]0, Ь[, такое, что е"" > £, О < £ < 1. Например, число Q можно выбрать из неравенства О < а < — In -, Таким образом, в этом случае интеграл сходится неравномерно. ►
29. Доказать, что интеграл Дирихле
sm ах
1) сходится равномерно на каждом отрезке [а, Ь], не содержащем значения а = О, и 2) сходится неравномерно на каждом отрезке [о, Ь], содержащем значение а — 0.
•< В первом случае воспользуемся примером 25. Здесь функция <^ : г н-> - при х —<• +оо монотонно стремится к нулю (и равномерно относительно параметра а). Первообразная
X
I
sin aidi = —(cos аа — cos ах) а
ограничена числом minflol Ibh • Следовательно, согласно примеру 25, данный интеграл сходится равномерно.
Во втором случае положим х = at, а > О Л t > О, Тогда получим
+ 00 +00
J^j^dx= J'^di.
В Ва
Отсюда следует, что V5 > О За € [о, Ь] такое, что
+ 00 +00
/ sin ах , „ f sini , --------dx > е, 0<е< ~7~'^^-
В 0,1
0,1
Действительно, для этого достаточно взять а ^ „ .
При а < О применяем подстановку х = —at и, проводя аналогичные рассуждения, приходим к такому же выводу.
Таким образом, в этом случае интеграл сходится неравномерно. ►
30. Исследовать на равномерную сходимость интеграл / —^ в следующих промежутках:
1
а) 1 < а-о ^ а < +оо; б) 1 < а < -Ьоо.
■4 а) Легко видеть, что -^ ^ -^ при 1 ^ г < -|-оо, «о ^ а < +оо и интеграл J -^
1 сходится. Следовательно, по признаку Вейерштрасса, данный интеграл сходится равномерно.
б) Поскольку г -§• = -----:;- и lim ----— — +оо, то Зе > О такое, что V5o 3-S >
^ в "^ "~ а-1+0 «-1 ^ '
Во Л За- €]1, +оо[ такие, что f —^ > е. Следовательно, интеграл в этом случае сходится
в неравномерно. ►
Страницы: 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 224 Следующая
| Показать растр (75 Кб) |
К началу |
22 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра
Во втором случае, произведя замену t = ах, х > О Л а > О, получим
1 ае-"' dx= I е-' dt = е""^
В аВ
Отсюда следует, что V5 > О За, а €]0, Ь[, такое, что е"" > £, О < £ < 1. Например, число Q можно выбрать из неравенства О < а < — In -, Таким образом, в этом случае интеграл сходится неравномерно. ►
29. Доказать, что интеграл Дирихле
sm ах
1) сходится равномерно на каждом отрезке [а, Ь], не содержащем значения а = О, и 2) сходится неравномерно на каждом отрезке [о, Ь], содержащем значение а — 0.
•< В первом случае воспользуемся примером 25. Здесь функция <^ : г н-> - при х —<• +оо монотонно стремится к нулю (и равномерно относительно параметра а). Первообразная
X
I
sin aidi = —(cos аа — cos ах) а
ограничена числом minflol Ibh • Следовательно, согласно примеру 25, данный интеграл сходится равномерно.
Во втором случае положим х = at, а > О Л t > О, Тогда получим
+ 00 +00
J^j^dx= J'^di.
В Ва
Отсюда следует, что V5 > О За € [о, Ь] такое, что
+ 00 +00
/ sin ах , „ f sini , --------dx > е, 0<е< ~7~'^^-
В 0,1
0,1
Действительно, для этого достаточно взять а ^ „ .
При а < О применяем подстановку х = —at и, проводя аналогичные рассуждения, приходим к такому же выводу.
Таким образом, в этом случае интеграл сходится неравномерно. ►
30. Исследовать на равномерную сходимость интеграл / —^ в следующих промежутках:
1
а) 1 < а-о ^ а < +оо; б) 1 < а < -Ьоо.
■4 а) Легко видеть, что -^ ^ -^ при 1 ^ г < -|-оо, «о ^ а < +оо и интеграл J -^
1 сходится. Следовательно, по признаку Вейерштрасса, данный интеграл сходится равномерно.
б) Поскольку г -§• = -----:;- и lim ----— — +оо, то Зе > О такое, что V5o 3-S >
^ в "^ "~ а-1+0 «-1 ^ '
Во Л За- €]1, +оо[ такие, что f —^ > е. Следовательно, интеграл в этом случае сходится
в неравномерно. ►
| Показать растр (75 Кб) |
К началу |
Страницы: 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 224 Следующая