Забыли свой пароль?
стр. 9 из Справочное пособие по высшей математике. Том 3. Кратные и криволинейные интегралы (Антидемидович) (И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 224 Следующая
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 9
о о
Покажем теперь справедливость формулы (1) при х = 0. Используя разложение sin х в ряд Маклорена, получаем ^^2-£ = ^ '~ '"^^ , если х ф 0. Очевидно, сумма этого ряда при
X = О равна единице. Поэтому f{x) = ^ rok+iv "Р" ^^в"- ^- Отсюда находим /'■"'(О) =
COS —-
—Tv~, ЧТО И требовалось доказать. Далее, поскольку при х ^ О
М
о о
1 гг7г [ „ ..j.„ ^ - „ „...^^„. и ^„^1 _ '°J^^ I ^ ^, то Vx б] - оо, +оо[
dx"
^
п + 1
10. функцию / : X ь^ х^ на отрезке [1, 3] приближенно заменить линейной функцией X >-* а + Ьх так, чтобы
3
1{а, 6) = [а + Ьх — X ) dx = min .
-I
■^ Поскольку подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные при любых а и 6, то можно применять формулу Лейбница. Дифференцируя под знаком интеграла по а и по 6 и учитывая необходимые условия экстремума функции /, получаем
3 3
Г^{а, 6) = 2 (а + Ъх - х^) dx = О, ll{a, 6) = 2 Па + Ъх- х^)х dx = 0. 1 1
Отсюда находим а = — у, 6 = 4. Легко убедиться, что /дзС", 6) = 4. Таким образом,
d^7(a, fe) = 4 da^ + 16 da dfe + ^ d6^ = 4(da + 2 d6f + id6^ > 0,
т. е. при а = ——,6 = 4 функция / принимает минимальное значение. Следовательно, линейная функция i/ = 4х — ^ удовлетворяет поставленной задаче. ►
11. Н
аити производные от полных эллиптических интегралов
2
dip
0 < A; < 1,
Е{к)= / V^-k^sin^-fid-fi, F{k)
-y/l — k^ sva? >fi
-1^
и выразить их через функции Е л F ■
Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 224 Следующая
| Показать растр (73 Кб) |
К началу |
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 9
о о
Покажем теперь справедливость формулы (1) при х = 0. Используя разложение sin х в ряд Маклорена, получаем ^^2-£ = ^ '~ '"^^ , если х ф 0. Очевидно, сумма этого ряда при
X = О равна единице. Поэтому f{x) = ^ rok+iv "Р" ^^в"- ^- Отсюда находим /'■"'(О) =
COS —-
—Tv~, ЧТО И требовалось доказать. Далее, поскольку при х ^ О
М
о о
1 гг7г [ „ ..j.„ ^ - „ „...^^„. и ^„^1 _ '°J^^ I ^ ^, то Vx б] - оо, +оо[
dx"
^
п + 1
10. функцию / : X ь^ х^ на отрезке [1, 3] приближенно заменить линейной функцией X >-* а + Ьх так, чтобы
3
1{а, 6) = [а + Ьх — X ) dx = min .
-I
■^ Поскольку подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные при любых а и 6, то можно применять формулу Лейбница. Дифференцируя под знаком интеграла по а и по 6 и учитывая необходимые условия экстремума функции /, получаем
3 3
Г^{а, 6) = 2 (а + Ъх - х^) dx = О, ll{a, 6) = 2 Па + Ъх- х^)х dx = 0. 1 1
Отсюда находим а = — у, 6 = 4. Легко убедиться, что /дзС", 6) = 4. Таким образом,
d^7(a, fe) = 4 da^ + 16 da dfe + ^ d6^ = 4(da + 2 d6f + id6^ > 0,
т. е. при а = ——,6 = 4 функция / принимает минимальное значение. Следовательно, линейная функция i/ = 4х — ^ удовлетворяет поставленной задаче. ►
11. Н
аити производные от полных эллиптических интегралов
2
dip
0 < A; < 1,
Е{к)= / V^-k^sin^-fid-fi, F{k)
-y/l — k^ sva? >fi
-1^
и выразить их через функции Е л F ■
| Показать растр (73 Кб) |
К началу |
Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 224 Следующая