Забыли свой пароль?
стр. 23 из Справочное пособие по высшей математике. Том 4. Функции комплексной переменной (Антидемидович) (А. К. Боярчук)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 3 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 350 Следующая
§6. Предел н непрерывность отображения нз одного метрического пространства в другое 23
Понятие непрерывности отображения в точке носит локальный характер. На это указывают следующие утверждения.
Теорема 2 (о непрерывности сужения отображения). Пусть отображение f : X-^Y непрерывно в точке Xq ^ Df, А С Df я Xq ^ А. Тогда сужение /|д — непрерывное в точке Zq отображение.
■4 Пусть ж„ -► Жо и Vn е N ж„ 6 ^. Тогда /U(x„) = f(x„) -► /(zq) = /\а(хо)- *■
Напомним, что множество V С X называется окрестностью точки Хд ^ X (см. п. 3.4), если существует такое открытое множество G С X, что Xq ^ G С V. Если Xq ^ А С X, то пересечение А DV называется окрестностью точки xq в А.
Теорема 3. Пусть существует такая окрестность W точки Zq в Df, что отображение /|w непрерывно в точке Zq. Тогда отображение f : X —> Y непрерывно в точке Zq.
■4 Пусть ж„ —> Жо и Vn G N Zn G В/. Существует такой номер щ € N, что Vn ^ По z„ G W. Поскольку
fixn„+n) = /lw(a;„„+„) -► f\w(xo) = f(xo),
TO f{Xn) —» /(zo) при n —► 00. Ho определению отображение / непрерывно в точке zq. ►
Смысл теорем 2 и 3 состоит в том, что свойство непрерывности отображения в точке зависит только от тех значений, которые oi/o принимает в некоторой ее окрестности.
Сформулируем понятие непрерывного отображения на языке окрестностей.
Определение 3. Пусть (X, рх) и {Y, ру) —метрические пространства. Отображение f: X-^Y называется непрерывным в точке Xq ^ Df, если для каждой окрестности V' точки /(Zq) в множестве Ef существует такая окрестность V точки х^ в множестве Df, что f{V) С V'. Отображение / называется непрерывным, если оно непрерывно 'ix ^ Df.
Поскольку множества Oe(/(Zo)) С Ef, Osixg) С Df являются окрестностями точек /(Zq) и Zq, то понятие непрерывности отображения / в точке Xq можно сформулировать на языке е-и й-окрестностей: отображение f : X -^ У называется непрерывным в точке Zq € Df, если для каждой окрестности Oe(/(zo)) С Ef существует такая окрестность 0((хо) С Df, что f(Os{xo))COAf(xo)).
Теорема 4. Для того чтобы отобраокение / : X —* Y было непрерывным в точке Хо € Df, необходимо и достаточно, чтобы прообраз /~'(^') каждой окрестности точки f(xo) в Ef был окрестностью точки х^ в Df.
< Необходимость. Если отображение / непрерывно в точке Xq ^ Df, то из определения 3 следует, что Zq G V С /~'(V'), следовательно, прообраз f~'(V') является окрестностью точки Хо в Df.
Достаточность. Если W = f~\V') — окрестность точки xq в Df, то существует такое открытое множество G, что Xq £ G С W, в силу чего V' D f{G). ►
Следующие две теоремы носят вспомогательный характер.
Теорема 5. Пусть / : Х ^ F « Zq G Df — точка прикосновения множества А С Df. Если отображение f непрерывно в точке Zq, то /(zq) — точка прикосновения множества f(A).
М Если V' — окрестность точки /(zq) в Ef, то по теореме 4 f''\V') — окрестность точки Хо в Df. Так как Zq — точка прикосновения множества .4, то .4 П f~\V') ^0. Следовательно, существует точка х ^ А п f~\V'), в силу чего /(z) G f{A) n V', т.е. множество f{A) П V' непустое. Поскольку V' — окрестность точки /(zq), то последняя является точкой прикосновения множества f(A). ►
Теорема 6. Пусть f : X ^ Y, А' С Ef, В' С Ef и А' Э В'. Тогда
r'(A'\B') = r'{A')\r'(B').
•4 Пусть хе f-^(A'\B'). Тогда
/(Z) е а'\в' ^ f(x) е Л' л fix) ^ в' =!> Z 6 /"'(^') л z ^ /'(в') =4-
^ Z е Г\А')\Г\В') ^ Г\А'\В') с f-^^A^)\r^(B').
Страницы: 3 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 350 Следующая
| Показать растр (123 Кб) |
К началу |
§6. Предел н непрерывность отображения нз одного метрического пространства в другое 23
Понятие непрерывности отображения в точке носит локальный характер. На это указывают следующие утверждения.
Теорема 2 (о непрерывности сужения отображения). Пусть отображение f : X-^Y непрерывно в точке Xq ^ Df, А С Df я Xq ^ А. Тогда сужение /|д — непрерывное в точке Zq отображение.
■4 Пусть ж„ -► Жо и Vn е N ж„ 6 ^. Тогда /U(x„) = f(x„) -► /(zq) = /\а(хо)- *■
Напомним, что множество V С X называется окрестностью точки Хд ^ X (см. п. 3.4), если существует такое открытое множество G С X, что Xq ^ G С V. Если Xq ^ А С X, то пересечение А DV называется окрестностью точки xq в А.
Теорема 3. Пусть существует такая окрестность W точки Zq в Df, что отображение /|w непрерывно в точке Zq. Тогда отображение f : X —> Y непрерывно в точке Zq.
■4 Пусть ж„ —> Жо и Vn G N Zn G В/. Существует такой номер щ € N, что Vn ^ По z„ G W. Поскольку
fixn„+n) = /lw(a;„„+„) -► f\w(xo) = f(xo),
TO f{Xn) —» /(zo) при n —► 00. Ho определению отображение / непрерывно в точке zq. ►
Смысл теорем 2 и 3 состоит в том, что свойство непрерывности отображения в точке зависит только от тех значений, которые oi/o принимает в некоторой ее окрестности.
Сформулируем понятие непрерывного отображения на языке окрестностей.
Определение 3. Пусть (X, рх) и {Y, ру) —метрические пространства. Отображение f: X-^Y называется непрерывным в точке Xq ^ Df, если для каждой окрестности V' точки /(Zq) в множестве Ef существует такая окрестность V точки х^ в множестве Df, что f{V) С V'. Отображение / называется непрерывным, если оно непрерывно 'ix ^ Df.
Поскольку множества Oe(/(Zo)) С Ef, Osixg) С Df являются окрестностями точек /(Zq) и Zq, то понятие непрерывности отображения / в точке Xq можно сформулировать на языке е-и й-окрестностей: отображение f : X -^ У называется непрерывным в точке Zq € Df, если для каждой окрестности Oe(/(zo)) С Ef существует такая окрестность 0((хо) С Df, что f(Os{xo))COAf(xo)).
Теорема 4. Для того чтобы отобраокение / : X —* Y было непрерывным в точке Хо € Df, необходимо и достаточно, чтобы прообраз /~'(^') каждой окрестности точки f(xo) в Ef был окрестностью точки х^ в Df.
< Необходимость. Если отображение / непрерывно в точке Xq ^ Df, то из определения 3 следует, что Zq G V С /~'(V'), следовательно, прообраз f~'(V') является окрестностью точки Хо в Df.
Достаточность. Если W = f~\V') — окрестность точки xq в Df, то существует такое открытое множество G, что Xq £ G С W, в силу чего V' D f{G). ►
Следующие две теоремы носят вспомогательный характер.
Теорема 5. Пусть / : Х ^ F « Zq G Df — точка прикосновения множества А С Df. Если отображение f непрерывно в точке Zq, то /(zq) — точка прикосновения множества f(A).
М Если V' — окрестность точки /(zq) в Ef, то по теореме 4 f''\V') — окрестность точки Хо в Df. Так как Zq — точка прикосновения множества .4, то .4 П f~\V') ^0. Следовательно, существует точка х ^ А п f~\V'), в силу чего /(z) G f{A) n V', т.е. множество f{A) П V' непустое. Поскольку V' — окрестность точки /(zq), то последняя является точкой прикосновения множества f(A). ►
Теорема 6. Пусть f : X ^ Y, А' С Ef, В' С Ef и А' Э В'. Тогда
r'(A'\B') = r'{A')\r'(B').
•4 Пусть хе f-^(A'\B'). Тогда
/(Z) е а'\в' ^ f(x) е Л' л fix) ^ в' =!> Z 6 /"'(^') л z ^ /'(в') =4-
^ Z е Г\А')\Г\В') ^ Г\А'\В') с f-^^A^)\r^(B').
| Показать растр (123 Кб) |
К началу |
Страницы: 3 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 350 Следующая