Забыли свой пароль?
стр. 19 из Высшая геометрия (Ефимов Н.В.)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 576 Следующая
§ 7]
2. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ
19
3. Сумма внутренних углов треугольника равна двумя прямым.
4. Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой на одном и том же расстоянии, образуют прямую.
5. Расстояния от точек одной из двух параллельных прямых до второй ограничены в своей совокупности.
6. Существуют треугольники с произвольно большой площадью.
7. Существуют подобные треугольники.
Любое из этих предложений можно положить в основу теории параллельных, т. е. признав какое-нибудь из них верным по очевидности, можно точным рассуждением доказать V постулат и после этого, следуя Евклиду, вывести все дальнейшие теоремы. Эквивалентность V постулату перечисленных и некоторых других предложений будет доказана в дальнейшем изложении.
§ 7. Из многочисленных сочинений, посвященных V постулату, следует выделить работы Саккери и Ламберта, которые оставили значительный след в деле обоснования теории параллельных.
Исследования Саккери были опубликованы в 1733 г. под названием «Евклид, очищенный от всяких пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии». В этом сочинении Саккери делает попытку доказать V постулат .от противного.
Саккери исходит из рассмотрения четырехугольника АА'В'В (рис. 5) с двумя прямыми углами при основании А В и с двумя равными боковыми сторонами А А' и ВВ'. Из симметрии фигуры относительно перпендикуляра НН' к сере-
дине ос'нования А В следует, что углы при вершинах А' и В' равны между собой. Если принять V постулат и, следовательно, евклидову теорию параллельных, то сейчас же можно установить, что углы А' и В'
дг н, ^
прямые и АА'В'В — прямоугольник. Обратно, как доказывает Саккери, если хотя бы в одном четырехугольнике указанного вида углы при верхнем основании окажутся прямыми, то будет иметь место евклидов постулат о параллельных. Желая доказать этот постулат, Саккерн делает три возможных предположения: либо углы А' и В' прямые, либо тупые, либо острые. Эти три предположения названы им соответственно гипотезами прямого, тупого и острого угла. Так как гипотеза прямого угла эквивалентна V постулату, то для того, чтобы доказать этот постулат, следует отвергнуть две другие гипотезы. Совершенно точными рассуждениями Саккери прежде всего приводит к противоречию гипотезу тупого угла. Вслед за тем, приняв гипотезу острого угла, он выводит весьма далеко идущие ее
Страницы: 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 576 Следующая
| Показать растр (113 Кб) |
К началу |
§ 7]
2. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ
19
3. Сумма внутренних углов треугольника равна двумя прямым.
4. Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой на одном и том же расстоянии, образуют прямую.
5. Расстояния от точек одной из двух параллельных прямых до второй ограничены в своей совокупности.
6. Существуют треугольники с произвольно большой площадью.
7. Существуют подобные треугольники.
Любое из этих предложений можно положить в основу теории параллельных, т. е. признав какое-нибудь из них верным по очевидности, можно точным рассуждением доказать V постулат и после этого, следуя Евклиду, вывести все дальнейшие теоремы. Эквивалентность V постулату перечисленных и некоторых других предложений будет доказана в дальнейшем изложении.
§ 7. Из многочисленных сочинений, посвященных V постулату, следует выделить работы Саккери и Ламберта, которые оставили значительный след в деле обоснования теории параллельных.
Исследования Саккери были опубликованы в 1733 г. под названием «Евклид, очищенный от всяких пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии». В этом сочинении Саккери делает попытку доказать V постулат .от противного.
Саккери исходит из рассмотрения четырехугольника АА'В'В (рис. 5) с двумя прямыми углами при основании А В и с двумя равными боковыми сторонами А А' и ВВ'. Из симметрии фигуры относительно перпендикуляра НН' к сере-
дине ос'нования А В следует, что углы при вершинах А' и В' равны между собой. Если принять V постулат и, следовательно, евклидову теорию параллельных, то сейчас же можно установить, что углы А' и В'
дг н, ^
прямые и АА'В'В — прямоугольник. Обратно, как доказывает Саккери, если хотя бы в одном четырехугольнике указанного вида углы при верхнем основании окажутся прямыми, то будет иметь место евклидов постулат о параллельных. Желая доказать этот постулат, Саккерн делает три возможных предположения: либо углы А' и В' прямые, либо тупые, либо острые. Эти три предположения названы им соответственно гипотезами прямого, тупого и острого угла. Так как гипотеза прямого угла эквивалентна V постулату, то для того, чтобы доказать этот постулат, следует отвергнуть две другие гипотезы. Совершенно точными рассуждениями Саккери прежде всего приводит к противоречию гипотезу тупого угла. Вслед за тем, приняв гипотезу острого угла, он выводит весьма далеко идущие ее
| Показать растр (113 Кб) |
К началу |
Страницы: 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 576 Следующая