Забыли свой пароль?
стр. 341 из Высшая геометрия (Ефимов Н.В.)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 1 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 576 Следующая
§ 113] 9. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 341
неподвижных точек (для которых х' = х) определяются уравнением
' ух—а '
ИЛИ
ух2 — 2оос — Р = 0.
Если у Ф 0, то это уравнение является квадратным и дискриминант его а* + Ру = — Д отличен от нуля. Таким образом, оно имеет либо два комплексных корня,— в этом случае неподвижных точек инволюции нет, либо два различных вещественных корня,— в этом случае существуют две неподвижные точки.
Если же у = 0, то, полагая ——=а, мы представим соотношение между х и х' в виде х' = — х + а. В этом случае, очевидно, инволюция имеет две неподвижные точки: х = -~- и х=оо.
Теорема доказана.
Инволюция, не оставляющая неподвижной ни одной точки прямой, называется эллиптической. Эллиптическая инволюция характеризуется условием Д = — а2 — $у > 0.
Инволюция, оставляющая неподвижными две точки, называется гиперболической. Для гиперболической инволюции д = _ «* _ р7 < о.
Иногда отображение х' = 2£±£ называют параболической
инволюцией, если Д = — а2 — $у = 0. Однако дробно-линейное отображение, определитель которого равен нулю, как мы знаем, не является взаимно однозначным и, следовательно, не входит в тот класс, который мы условились рассматривать *).
Теорема 41. Если М' = / (М) — гиперболическая инволюция с неподвижными точками А и В, то пара точек М, М' гармонически разделяет пару точек А, В.
Доказательство. Выберем на прямой систему неоднородных проективных координат так, чтобы А в этой системе получила координату х = 0, а точка В (символическую) координату
*) То, что отображение х' =-----р^ при Д = аб — ($7=0 не является
взаимно однозначным, помимо ранее высказанных общих соображений, может быть легко установлено еще таким путем: если Д=0, то а '. y = fi '. &=q; тогда
. ouc+P q(yx + 6) х =—XT? j-fi 0» следовательно, любой точке отвечает одна и та же
точка с координатой х'=q.
Страницы: 1 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 576 Следующая
| Показать растр (85 Кб) |
К началу |
§ 113] 9. АНАЛИТИЧ. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 341
неподвижных точек (для которых х' = х) определяются уравнением
' ух—а '
ИЛИ
ух2 — 2оос — Р = 0.
Если у Ф 0, то это уравнение является квадратным и дискриминант его а* + Ру = — Д отличен от нуля. Таким образом, оно имеет либо два комплексных корня,— в этом случае неподвижных точек инволюции нет, либо два различных вещественных корня,— в этом случае существуют две неподвижные точки.
Если же у = 0, то, полагая ——=а, мы представим соотношение между х и х' в виде х' = — х + а. В этом случае, очевидно, инволюция имеет две неподвижные точки: х = -~- и х=оо.
Теорема доказана.
Инволюция, не оставляющая неподвижной ни одной точки прямой, называется эллиптической. Эллиптическая инволюция характеризуется условием Д = — а2 — $у > 0.
Инволюция, оставляющая неподвижными две точки, называется гиперболической. Для гиперболической инволюции д = _ «* _ р7 < о.
Иногда отображение х' = 2£±£ называют параболической
инволюцией, если Д = — а2 — $у = 0. Однако дробно-линейное отображение, определитель которого равен нулю, как мы знаем, не является взаимно однозначным и, следовательно, не входит в тот класс, который мы условились рассматривать *).
Теорема 41. Если М' = / (М) — гиперболическая инволюция с неподвижными точками А и В, то пара точек М, М' гармонически разделяет пару точек А, В.
Доказательство. Выберем на прямой систему неоднородных проективных координат так, чтобы А в этой системе получила координату х = 0, а точка В (символическую) координату
*) То, что отображение х' =-----р^ при Д = аб — ($7=0 не является
взаимно однозначным, помимо ранее высказанных общих соображений, может быть легко установлено еще таким путем: если Д=0, то а '. y = fi '. &=q; тогда
. ouc+P q(yx + 6) х =—XT? j-fi 0» следовательно, любой точке отвечает одна и та же
точка с координатой х'=q.
| Показать растр (85 Кб) |
К началу |
Страницы: 1 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 576 Следующая