Забыли свой пароль?
стр. 576 из Высшая геометрия (Ефимов Н.В.)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 1 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576
576 ix. пространств, формы геометрии постоян. кривизны [§ 2
§ 248. По поводу открытых пространственных форм гиперболическ геометрии мы скажем лишь несколько слов. Таких форм также имеется беек нечное множество. Чтобы это стало ясным, достаточно показать несколько пр. меров.
Рассмотрим на плоскости Лобачевского бесконечную полосу Plt ограь ченную двумя параллельными прямыми. Пусть Р.2 — еще одна точ такая же полоса. Если идентифицировать прямые, ограничивающие поле. Pi, с прямыми, ограничивающими полосу Р2. а внутренние точки этих па считать различными, то получится многообразие, гомеоморфное цилиндр со всюду определенной на нем гиперболической метрикой. Условие полнот при этом с очевидностью выполняется.
Иначе можно поступить еще так: взять два экземпляра полосы плоское Лобачевского, ограниченной двумя расходящимися прямыми, н ложить их друг па друга и идентифицировать совместившиеся границы. Тог, снова получится гиперболически метризованный цилиндр.
Между прочим, полученные дзумя указанными способами гиперболическ метризованные многообразия имеют одинаковую внутреннюю геометри в малом, один топологический тип и оба являются полными, но метричеси их свойства в целом существенно различны (одно из них есть трубка, бескс нечно расширяющаяся в одну сторону и бесконечно сужающаяся в другук второе представляет собой трубку, бесконечно расширяющуюся в обе сп роны).
Если рассматривать два наложенных друг на друга «треугольнике с бесконечно простирающимися сторонами (такие фигуры на плоскости Лоба чевского, очевидно, существуют) и идентифицировать точки на их границах то получится полное гиперболически метризованное открытое многообразие нового топологического типа.
Этот прием можно варьировать без конца. Нельзя, однако, таким прие мом получить, например, гиперболическую метрику на сфере; если бы мь идентифицировали точки на границе двух совмещенных кругов плоскость Лобачевского, то имели бы сферу с гиперболической метрикой, но с особок линией. В данном случае прием не дает многообразия со всюду определенно:" метрикой, так как плоскость Лобачевского (как и плоскость Евклида) не симметрична 9тносительно окружности.
§ 249. Подведем итоги нашего исследования. Мы получили бесконечне много различных многообразий, несущих на себе геометрию постоянной кривизны. Все многообразия, обладающие метрикой данной постоянной кривизны, имеют общую геометрию в малом. Каждое из них допускает конгруэнтные, в смысле своей геометрии, перемещения по себе своих достаточно малых частей, и совокупность этих перемещений транзитивна относительно линейных элементов. Но метризованные многообразия разных топологических типов в целом обладают разными геометриями. Каждому из них соответствует своя система теорем, выражающих свойства принадлежащих этому многообразию объектов. Класс таких геометрий является естественным обобщением геометрий Евклида, Лобачевского и Римана.
В этом разделе мы занимались исключительно геометриями двух измерений. С неевклидовыми геометриями размерности п :э= 3 читатель может познакомиться по книгам: Ф. Клейн, Неевклидова геометрия, П. К. Р а ш е в-_ с к и й, Риманова геометрия и тензорный анализ, Э. К а р т а н, Геометрия римановых пространств (см. также первое издание настоящей книги).
Страницы: 1 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576
| Показать растр (113 Кб) |
К началу |
576 ix. пространств, формы геометрии постоян. кривизны [§ 2
§ 248. По поводу открытых пространственных форм гиперболическ геометрии мы скажем лишь несколько слов. Таких форм также имеется беек нечное множество. Чтобы это стало ясным, достаточно показать несколько пр. меров.
Рассмотрим на плоскости Лобачевского бесконечную полосу Plt ограь ченную двумя параллельными прямыми. Пусть Р.2 — еще одна точ такая же полоса. Если идентифицировать прямые, ограничивающие поле. Pi, с прямыми, ограничивающими полосу Р2. а внутренние точки этих па считать различными, то получится многообразие, гомеоморфное цилиндр со всюду определенной на нем гиперболической метрикой. Условие полнот при этом с очевидностью выполняется.
Иначе можно поступить еще так: взять два экземпляра полосы плоское Лобачевского, ограниченной двумя расходящимися прямыми, н ложить их друг па друга и идентифицировать совместившиеся границы. Тог, снова получится гиперболически метризованный цилиндр.
Между прочим, полученные дзумя указанными способами гиперболическ метризованные многообразия имеют одинаковую внутреннюю геометри в малом, один топологический тип и оба являются полными, но метричеси их свойства в целом существенно различны (одно из них есть трубка, бескс нечно расширяющаяся в одну сторону и бесконечно сужающаяся в другук второе представляет собой трубку, бесконечно расширяющуюся в обе сп роны).
Если рассматривать два наложенных друг на друга «треугольнике с бесконечно простирающимися сторонами (такие фигуры на плоскости Лоба чевского, очевидно, существуют) и идентифицировать точки на их границах то получится полное гиперболически метризованное открытое многообразие нового топологического типа.
Этот прием можно варьировать без конца. Нельзя, однако, таким прие мом получить, например, гиперболическую метрику на сфере; если бы мь идентифицировали точки на границе двух совмещенных кругов плоскость Лобачевского, то имели бы сферу с гиперболической метрикой, но с особок линией. В данном случае прием не дает многообразия со всюду определенно:" метрикой, так как плоскость Лобачевского (как и плоскость Евклида) не симметрична 9тносительно окружности.
§ 249. Подведем итоги нашего исследования. Мы получили бесконечне много различных многообразий, несущих на себе геометрию постоянной кривизны. Все многообразия, обладающие метрикой данной постоянной кривизны, имеют общую геометрию в малом. Каждое из них допускает конгруэнтные, в смысле своей геометрии, перемещения по себе своих достаточно малых частей, и совокупность этих перемещений транзитивна относительно линейных элементов. Но метризованные многообразия разных топологических типов в целом обладают разными геометриями. Каждому из них соответствует своя система теорем, выражающих свойства принадлежащих этому многообразию объектов. Класс таких геометрий является естественным обобщением геометрий Евклида, Лобачевского и Римана.
В этом разделе мы занимались исключительно геометриями двух измерений. С неевклидовыми геометриями размерности п :э= 3 читатель может познакомиться по книгам: Ф. Клейн, Неевклидова геометрия, П. К. Р а ш е в-_ с к и й, Риманова геометрия и тензорный анализ, Э. К а р т а н, Геометрия римановых пространств (см. также первое издание настоящей книги).
| Показать растр (113 Кб) |
К началу |
Страницы: 1 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576