Забыли свой пароль?
стр. 22 из Теоретическая физика в десяти томах. Том 1. Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 4 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 223 Следующая
22
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ГЛ. I
ным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с такими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т.е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел.
Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т.п. Это обстоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики (см. § 25).
Однако во многих случаях трение в системе оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно при этом снова пользоваться функцией Лагранжа вида (5.5) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы.
Задачи
Найти функцию Лагранжа следующих систем, находящихся в однородном поле тяжести (g — ускорение свободного падения).
1. Двойной плоский маятник (рис. 1). Решение. В качестве координат берем углы (pi и (р2, которые нити 1\ и Ь образуют с вертикалью. Тогда для точки т\ имеем
Тг = -rrnljjpl, U = -rrngh cos cpi.
Чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем ее декартовы координаты Х2, г/2 (начало координат в точке подвеса, ось у — по вер-► 77i2 тикали вниз) через углы (pi,(p2-Рис.1 Х2 = h sin (pi + h sin(p2, г/2 = h cos (pi + h coscp2.
После этого получаем
m ТП2 , . 2 , • 2\ rn2 ri2 • 2 , ,2 • 2 , n, , / \ • • л
T2 = ~1Г\Х2 +У2) = у[^1ф1 +Ьф2 + 2ZiZ2 COS((pi - ф2)ф1ф2].
Окончательно:
ГГЦ + 1712 ,2 • 2 , ™>2 ,2 • 2 , i i • • / \ ,
L =---------------li(pi + — /2ф2 +т2/1/2ф1ф2С08(ф1 - ф2) +
+ (mi + 7712)g/l COS (pi + 17l2gl2 COS (p2-
Страницы: 4 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 223 Следующая
| Показать растр (220 Кб) |
К началу |
22
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ГЛ. I
ным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с такими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т.е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел.
Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т.п. Это обстоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики (см. § 25).
Однако во многих случаях трение в системе оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно при этом снова пользоваться функцией Лагранжа вида (5.5) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы.
Задачи
Найти функцию Лагранжа следующих систем, находящихся в однородном поле тяжести (g — ускорение свободного падения).
1. Двойной плоский маятник (рис. 1). Решение. В качестве координат берем углы (pi и (р2, которые нити 1\ и Ь образуют с вертикалью. Тогда для точки т\ имеем
Тг = -rrnljjpl, U = -rrngh cos cpi.
Чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем ее декартовы координаты Х2, г/2 (начало координат в точке подвеса, ось у — по вер-► 77i2 тикали вниз) через углы (pi,(p2-Рис.1 Х2 = h sin (pi + h sin(p2, г/2 = h cos (pi + h coscp2.
После этого получаем
m ТП2 , . 2 , • 2\ rn2 ri2 • 2 , ,2 • 2 , n, , / \ • • л
T2 = ~1Г\Х2 +У2) = у[^1ф1 +Ьф2 + 2ZiZ2 COS((pi - ф2)ф1ф2].
Окончательно:
ГГЦ + 1712 ,2 • 2 , ™>2 ,2 • 2 , i i • • / \ ,
L =---------------li(pi + — /2ф2 +т2/1/2ф1ф2С08(ф1 - ф2) +
+ (mi + 7712)g/l COS (pi + 17l2gl2 COS (p2-
| Показать растр (220 Кб) |
К началу |
Страницы: 4 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 223 Следующая