Забыли свой пароль?
стр. 21 из Теоретическая физика в десяти томах. Том 4. Квантовая электродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 720 Следующая
§ 2 КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 21
Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Qkcn Рка- Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложении говорят как о разложении поля на осцилляторы.
Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные координаты Qka и обобщенные импульсы Р\^а — как операторы с правилом коммутации
^ka^ika Щка^ка — ^ \^^)
(операторы же с разными ка все коммутативны друг с другом). Вместе с ними становятся операторами (эрмитовыми) также потенциал А и, согласно (2.2), напряженности Е и Н.
Последовательное определение гамильтониана поля требует вычисления интеграла
Н = — /(Ё2 + H2)d3x, (2.10)
8тг J
в котором Е и Н выражены через операторы Pkcn Qka- Фактически, однако, некоммутативность последних при этом не проявляется, так как произведения QkaPka входят с множителем coskr-sinkr, обращающимся в нуль при интегрировании по всему объему. Поэтому в результате для гамильтониана получается выражение
h = T,\{P^ + ^QL)- (2-и)
ка
в точности соответствующее классической функции Гамильтона, что и естественно было ожидать.
Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к известной задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов (см. III, § 23). Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля
Е = Л£(^а+1-)^ (2.12)
ка
где Nka — целые числа.
К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Qkcn
Страницы: 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 720 Следующая
| Показать растр (244 Кб) |
К началу |
§ 2 КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 21
Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Qkcn Рка- Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложении говорят как о разложении поля на осцилляторы.
Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные координаты Qka и обобщенные импульсы Р\^а — как операторы с правилом коммутации
^ka^ika Щка^ка — ^ \^^)
(операторы же с разными ка все коммутативны друг с другом). Вместе с ними становятся операторами (эрмитовыми) также потенциал А и, согласно (2.2), напряженности Е и Н.
Последовательное определение гамильтониана поля требует вычисления интеграла
Н = — /(Ё2 + H2)d3x, (2.10)
8тг J
в котором Е и Н выражены через операторы Pkcn Qka- Фактически, однако, некоммутативность последних при этом не проявляется, так как произведения QkaPka входят с множителем coskr-sinkr, обращающимся в нуль при интегрировании по всему объему. Поэтому в результате для гамильтониана получается выражение
h = T,\{P^ + ^QL)- (2-и)
ка
в точности соответствующее классической функции Гамильтона, что и естественно было ожидать.
Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к известной задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов (см. III, § 23). Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля
Е = Л£(^а+1-)^ (2.12)
ка
где Nka — целые числа.
К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Qkcn
| Показать растр (244 Кб) |
К началу |
Страницы: 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 720 Следующая