Забыли свой пароль?
стр. 19 из Библиотечка Квант. Выпуск 7. Введение в теорию групп. (Александров П.С.)
Новость: Открыт форум по нанотехнологии.
Страницы: 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 144 Следующая
обладающее свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности. Обратно, каждое отношение эквивалентности, установленное между глементами множества М и обладающее свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности, определяет разбиение множества М на классы попарно эквивалентных между собой элементов.
Приведем теперь несколько геометрических примеров отношений эквивалентности и разбиений множеств на классы.
Пример 5. Пусть М — множество всех прямых на плоскости. Напомним, что две прямые, 1Х и /2, называются параллельными, если либо 1Х и /2 совпадают, либо не имеют общих точек (символически: либо 1Х = 12, либо lif\l2 — 0)- Разобьем множество М на классы, относя прямые 1Х и 12 к одному классу в том и только том случае, когда /х||/2. Параллельность прямых есть отношение эквивалентности на множестве М. Действительно, 1\1 и, если /г В /г. то 12\1Х. Следовательно, отношение | рефлексивно и симметрично. Далее, пусть lx \ /2 и /21| /3. Если 1Х = /2 и /2 = /3, то, очевидно, 1Х = /3. Если lx = l2, a /2rW3=0. т0 ^П'з=Ф' аналогично для случая lx f) 12 = ф и 12 = 13. Остается рассмотреть случай. h П к = 0 и к П 4 = 0- Н° тогда либо ^ П к = 0» либ° пересечение /х р[ /3 содержит хотя бы одну точку А; в последнем случае 1Х = 13 в силу пятого постулата Евклида, т. е. отношение у транзитивно. Таким образом, отношение | есть отношение эквивалентности. Полученные классы эквивалентности называются направлениями на плоскости.
Пример 6. Назовем две плоские фигуры F1 и F2 эквивалентными, если они конгруэнтны (FX^F2), т. е. если существует такое перемещение / плоскости, что / (Fx) = F2. Конгруэнтность также есть отношение эквивалентности. Действительно, F^F, поскольку в этом случае в качестве перемещения можно взять тождественное перемещение плоскости. Далее, если FX^F2, то существует такое перемещение f, что f(Fx) — F2. Но тогда f-i(F2)=f-4f(Fx)) = f-*.f(Fx) = Fx, т. е. F2^FX. И, наконец, если FX^F2 и F2^F3, то f(F1) = F2 и g(F2) — F3 для некоторых перемещений f и g. Поэтому F3 = g(F2)=g(f(F1))=g-f(Fx), т. е. FXQ±F3. Итак, отношение ^ рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности.
19
Страницы: 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 144 Следующая
| Показать растр (102 Кб) |
К началу |
обладающее свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности. Обратно, каждое отношение эквивалентности, установленное между глементами множества М и обладающее свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности, определяет разбиение множества М на классы попарно эквивалентных между собой элементов.
Приведем теперь несколько геометрических примеров отношений эквивалентности и разбиений множеств на классы.
Пример 5. Пусть М — множество всех прямых на плоскости. Напомним, что две прямые, 1Х и /2, называются параллельными, если либо 1Х и /2 совпадают, либо не имеют общих точек (символически: либо 1Х = 12, либо lif\l2 — 0)- Разобьем множество М на классы, относя прямые 1Х и 12 к одному классу в том и только том случае, когда /х||/2. Параллельность прямых есть отношение эквивалентности на множестве М. Действительно, 1\1 и, если /г В /г. то 12\1Х. Следовательно, отношение | рефлексивно и симметрично. Далее, пусть lx \ /2 и /21| /3. Если 1Х = /2 и /2 = /3, то, очевидно, 1Х = /3. Если lx = l2, a /2rW3=0. т0 ^П'з=Ф' аналогично для случая lx f) 12 = ф и 12 = 13. Остается рассмотреть случай. h П к = 0 и к П 4 = 0- Н° тогда либо ^ П к = 0» либ° пересечение /х р[ /3 содержит хотя бы одну точку А; в последнем случае 1Х = 13 в силу пятого постулата Евклида, т. е. отношение у транзитивно. Таким образом, отношение | есть отношение эквивалентности. Полученные классы эквивалентности называются направлениями на плоскости.
Пример 6. Назовем две плоские фигуры F1 и F2 эквивалентными, если они конгруэнтны (FX^F2), т. е. если существует такое перемещение / плоскости, что / (Fx) = F2. Конгруэнтность также есть отношение эквивалентности. Действительно, F^F, поскольку в этом случае в качестве перемещения можно взять тождественное перемещение плоскости. Далее, если FX^F2, то существует такое перемещение f, что f(Fx) — F2. Но тогда f-i(F2)=f-4f(Fx)) = f-*.f(Fx) = Fx, т. е. F2^FX. И, наконец, если FX^F2 и F2^F3, то f(F1) = F2 и g(F2) — F3 для некоторых перемещений f и g. Поэтому F3 = g(F2)=g(f(F1))=g-f(Fx), т. е. FXQ±F3. Итак, отношение ^ рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности.
19
| Показать растр (102 Кб) |
К началу |
Страницы: 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 144 Следующая